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什麼是“３ｘ＋１問題”？
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有冇人知咩係 “３ｘ＋１”問題 知ｇｅ唔該詳細解釋
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此數列必然或進入 1-4-2 循環。這就是俗稱的 3x+1 問題，學名是 Collatz 問題。而按照上述規則產生的數列，稱為 Collatz 數列。 所謂 1-4-2 循環，就是說如果某個 xk = 1，則按照規則 xk+1 = 3*xk+1 = 4，然後按照規則 xk+2 = xk+1/2 = 2，然後按照規則 xk+3 = xk+2/2 = 1，然後按照規則 xk+4 就又是 4，然後又是 2，然後又是 1，如此循環不已。 因為只要有某個 xk = 1，就會進入 1-4-2 循環，所以我們只要遇到第一個 1 就該停止計算，否則再算下去也沒什麼意義。如果我們把規則訂成 在第一次遇到 xk = 1 時停止產生 Collatz 數列 那麼 3x+1 問題又可以改編成： 不論 x0 是什麼正整數，Collatz 數列一定會停下來 我相信絕大部分的讀者都感到疑惑：真的是這樣嗎？直覺上實在很難想像為什麼上述產生 Collatz 數列的程序一定會停下來？我們利用 Matlab 來實驗看看。 為了害怕萬一它永遠不停下來 (無窮迴圈) 就麻煩了，所以我們固定讓它只迭代 1000 次，也就是最多只產生到 x1000 而已；如果在 x1000 之前就遇到 xk=1 就提早停下來。讓我們先試試看，若 x0 = 3 會怎樣？紅色數目字代表指令的編號，不是指令的一部分。 1 x = 3; 2 for n=1:1000 3 if (rem(x,2) == 1) 4 x = 3*x+1 5 else 6 x = x/2 7 end 8 pause(1); 9 if (x == 1) 10 break; 11 end 12 end以上程式可以直接寫在 Matlab 介面內，但是最好寫成一個腳本程式。在 1 我們設定 x0，然後在 2 -- 12 之間我們依序產生 x1, x2, ... 最多到 x1000。而 3 -- 7 就是按照規則決定新的 xn，其中 3 中的 rem(x,2) 是 x 被 2 除的餘數 (remainder)，也就是說「若 x 是奇數」的意思。我們故意在 4 和 6 的指令結束後不加分號，讓 Matlab 把計算結果輸出在螢幕上，以便觀察。在 8 我們要 Matlab 暫停 (pause) 1 秒鐘，好讓我們有時間看看計算的結果是什麼。接著 9 -- 11 就是標準的 if-break 技術：如果有某個 xn=1，那就不必再繼續下去了。 break 的意思就是離開包含這個 if 指令的 for 迴圈。 為了讓讀者方便剪貼上述程式到 Matlab 工作環境之中，以下我要取消那些紅色的編號。順便，我要再簡化 3：因為 rem(x,2) 的結果不是 0 就是 1，而 Matlab 本來就把 0 視為 FALSE、非 0 視為 TRUE。因此如果 x 是奇數，則 rem(x,2) 必然為 TRUE；如果 x 是偶數，則 rem(x,2) 必然為 FALSE。所以 if(rem(x,2) == 1) 這句話是「脫了褲子放屁」：多此一舉，只要寫 if(rem(x,2)) 就足夠表達「若 x 是奇數」這個意思了。簡化後的程式如下： x = 3; for n=1:1000 if (rem(x,2)) x = 3*x+1 else x = x/2 end pause(1); if (x == 1) break; end end 現在，請您剪貼程式到 Matlab 環境中，試試看，由 x0=3 所產生的 Collatz 數列是 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 讀者可以自行修改 x0 的值 (也就是程式的第一列)，試試看您能不能發現一個會使得 Collatz 數列在 1000 項以內還沒出現 1 的 x0？ (不要來問我答案) 習題 定義 Collatz 數列的「長度」為使得 xk=1 的最小 k。令 x0 取值 3, 4, ..., 15，哪一個 x0 導致的 Collatz 數列最長？有多長？ (您可能要適度修改這一節展示的程式，讓它可以顯示 Collatz 數列的「長度」。)
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考拉茲猜想，又稱為3n＋1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、烏拉姆猜想或敘拉古猜想，是指對於每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘3再加1，如果它是偶數，則對它除以2，如此循環，最終都能夠得到1。 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/d/4/5d41c8f8231c1912b419b0632c762e3c.png 例如取一個數字 n = 6，根據上述數式，得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1 。考拉茲猜想稱，任何正整數，經過上述計算步驟後，最終都會得到 1 。 也可以叫「奇偶歸一猜想」。 以下是這個猜想的電腦代碼。它會在答案得到1時停下來，以避免作4→2→1這個無限循環。 def collatz(n) print n if n.odd? and n > 1 collatz(3n + 1) else if n.even? collatz(n / 2) 在1930年代，德國漢堡大學的學生考拉茲，曾經研究過這個猜想，因而得名。在1960年，日本人角谷靜夫也研究過這個猜想。但這猜想到目前，仍沒有任何進展。 保羅·艾狄胥就曾稱，數學上尚未為此類問題提供答案。他並稱會替找出答案的人獎賞500元。 目前已經有分散式計算在進行驗證。到2005年8月2日，已驗證正整數到 6 × 258 = 1,729,382,256,910,270,464，也仍未有找到例外的情況。但是這並不能夠證明對於任何大小的數，這猜想都能成立。 有的數學家認為，該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開闢全新的領域。目前也有部分數學家和數學愛好者，在進行關於「負數的3x＋1」、「5x＋1」、「7x＋1」等種種考拉茲猜想的變化形命題的研究。其他解答:
此數列必然或進入 1-4-2 循環。這就是俗稱的 3x+1 問題，學名是 Collatz 問題。而按照上述規則產生的數列，稱為 Collatz 數列。 所謂 1-4-2 循環，就是說如果某個 xk = 1，則按照規則 xk+1 = 3*xk+1 = 4，然後按照規則 xk+2 = xk+1/2 = 2，然後按照規則 xk+3 = xk+2/2 = 1，然後按照規則 xk+4 就又是 4，然後又是 2，然後又是 1，如此循環不已。 因為只要有某個 xk = 1，就會進入 1-4-2 循環，所以我們只要遇到第一個 1 就該停止計算，否則再算下去也沒什麼意義。如果我們把規則訂成 在第一次遇到 xk = 1 時停止產生 Collatz 數列 那麼 3x+1 問題又可以改編成： 不論 x0 是什麼正整數，Collatz 數列一定會停下來 我相信絕大部分的讀者都感到疑惑：真的是這樣嗎？直覺上實在很難想像為什麼上述產生 Collatz 數列的程序一定會停下來？我們利用 Matlab 來實驗看看。 為了害怕萬一它永遠不停下來 (無窮迴圈) 就麻煩了，所以我們固定讓它只迭代 1000 次，也就是最多只產生到 x1000 而已；如果在 x1000 之前就遇到 xk=1 就提早停下來。讓我們先試試看，若 x0 = 3 會怎樣？紅色數目字代表指令的編號，不是指令的一部分。 1 x = 3; 2 for n=1:1000 3 if (rem(x,2) == 1) 4 x = 3*x+1 5 else 6 x = x/2 7 end 8 pause(1); 9 if (x == 1) 10 break; 11 end 12 end以上程式可以直接寫在 Matlab 介面內，但是最好寫成一個腳本程式。在 1 我們設定 x0，然後在 2 -- 12 之間我們依序產生 x1, x2, ... 最多到 x1000。而 3 -- 7 就是按照規則決定新的 xn，其中 3 中的 rem(x,2) 是 x 被 2 除的餘數 (remainder)，也就是說「若 x 是奇數」的意思。我們故意在 4 和 6 的指令結束後不加分號，讓 Matlab 把計算結果輸出在螢幕上，以便觀察。在 8 我們要 Matlab 暫停 (pause) 1 秒鐘，好讓我們有時間看看計算的結果是什麼。接著 9 -- 11 就是標準的 if-break 技術：如果有某個 xn=1，那就不必再繼續下去了。 break 的意思就是離開包含這個 if 指令的 for 迴圈。 為了讓讀者方便剪貼上述程式到 Matlab 工作環境之中，以下我要取消那些紅色的編號。順便，我要再簡化 3：因為 rem(x,2) 的結果不是 0 就是 1，而 Matlab 本來就把 0 視為 FALSE、非 0 視為 TRUE。因此如果 x 是奇數，則 rem(x,2) 必然為 TRUE；如果 x 是偶數，則 rem(x,2) 必然為 FALSE。所以 if(rem(x,2) == 1) 這句話是「脫了褲子放屁」：多此一舉，只要寫 if(rem(x,2)) 就足夠表達「若 x 是奇數」這個意思了。簡化後的程式如下： x = 3; for n=1:1000 if (rem(x,2)) x = 3*x+1 else x = x/2 end pause(1); if (x == 1) break; end end 現在，請您剪貼程式到 Matlab 環境中，試試看，由 x0=3 所產生的 Collatz 數列是 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 讀者可以自行修改 x0 的值 (也就是程式的第一列)，試試看您能不能發現一個會使得 Collatz 數列在 1000 項以內還沒出現 1 的 x0？ (不要來問我答案) 習題 定義 Collatz 數列的「長度」為使得 xk=1 的最小 k。令 x0 取值 3, 4, ..., 15，哪一個 x0 導致的 Collatz 數列最長？有多長？ (您可能要適度修改這一節展示的程式，讓它可以顯示 Collatz 數列的「長度」。)
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