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如何用垂心去證明內心

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數學講義上有題目:三角形ABC三高AD、BE、CF交於P，P為三角形ABC之垂心，試證P同時為三角形DEF之內心

最佳解答:

AD⊥BC, BE⊥AC,CF⊥AB ⊿ABD與⊿CBF中,∠BFC=∠BDE=90° 故∠BAD+∠ABD=∠CBF+∠BCF ∠BAD=∠BCF...........(1) 四邊形AFPE為圓內接四邊形(∵∠AFP+∠PEA=180°) ∠FAP=∠FEP(同對弧FP)........(2) 由(1)(2)得 ∠BCF=∠FEP..........(3) 另四邊形亦為圓內四邊形(∵∠PDC+∠PEC=180°) ∠DCP=∠PED(同對弧PD)..........(4) 由(3)(4)得 ∠FEP=∠DEP 即BE平分∠FED 同理AD平分∠FDE CF平分∠EFD 故得證

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